Time Can't Turn Back: Vektor dan Skalar

Besaran Vektor

Definisi Vektor

Secara sederhana pengertian vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah. Contoh dari besaran ini misalnya perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya. Untuk menggambarkan vektor digunakan garis berarah yang bertitik pangkal. Panjang garis sebagai nilai vektor dah anak panah menunjukkan arahnya. Simbol vektor menggunakan huruf kapital yang dicetak tebal (bold) atau miring dengan tanda panah di atasnya seperti gambar berikut:

Menggambar sebuah Vektor
Vektor pada bidang datar mempunyai 2 komponen yaitu pada sumbu x dan sumbu y. Khusus untuk vektor yang segaris dengan sumbu x atau y berarti hanya mempunyai 1 komponen. Komponen vektor adalah vektor yang bekerja menuyusun suatu vektor hasil (resultan vektor). Oleh karenanya vektor bisa dipindahkan titik pangkalnya asalkan tidak berubah besar dan arahnya.

Secara matematis vektor dapat dituliskan A = A_x+A_y dimana A adalah resultan dari komponen-komponenya berupa Ax dan Ay.

Penjumlahan Vekor
Inti dari operasi penjumlahan vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya atau secara sederhana berarti mencari resultan dari 2 vektor. Aga susah memang dipahami dari definisi tertulis. Kita coba memahaminya dengan contoh

Untuk vektor segaris, resultannya

R = A + B + C + n dst…

untuk penjumlahan vektor yang tidak segaris misalnya seperti gambar di bawah ini

rumus penjumlahan vektor bisa didapat dari persamaan berikut

Menurut aturan cosinus dalam segitiga,

(OR)² = (OP)² + (PR)² – 2(OP)(PR) cos (180o - α)
(OR)² = (OP)² + (PR)² - 2(OP)(PR) cos (-cos α)
(OR)² = (OP)² + (PR)² - 2(OP)(PR) cos α
Jika OP = A, PR = B, dan Resultan ‘R’ = OR

maka didapat persamaan
R² = A² + B² - 2AB cos α
Rumus menghitung resultan vektornya

Dalam penjumlahan vektor sobat hitung bisa menggunakan 2 cara

1. Penjumlahan Vektor dengan cara Jajar Genjang (Pararelogram)

yaitu seprti yang dijelaskan di atas. Metode yang digunakan adalah dengan mencari diagonal jajar genjang yang terbentuk dari 2 vektor dan tidak ada pemindahan titik tangkap vektor.

2. Penjumlahan Vektor dengan Cara Segitiga

pada metode ini dilakukan pemindahan titik tangka vektor 1 ke ujung vektor yang lain kemudian menghubungkan titi tangkap atau titik pangkal vektor pertama dengn titik ujung vektor ke dua. Lihat ilustrasi gambar di bawah ini.

Untuk vektor yang lebih dari 2, sama saja. Lakukan satu demi satu hingga ketemu resultan akhirnya. Dari gambar di atas, V = A + B dan R = V + C atau R = A + B + C

Pengurangan Vektor

Pengurangan Vektor pada prinsipnya sama dengan penjumlahan, cuma yang membedakan adalah ada salah satu vektor yang mempunyai arah yang berlawanan. Misalnya vektor A bergerak ke arah timur dan B bergerak ke arah barat maka resultannya

R = A + (-B) = A – B

Rumus Cepat Vektor

berikut rumus cepat panduan mengerjakan soal vektor fisika

Jika α = 0^o maka R = V₁ + V₂

Jika α = 90^o maka R = √(V_1² + V₂²)

Jika α = 180^o maka R = | V₁ + V₂ | –> nilai mutlak

Jika α = 120^o dan V₁ = V₂ = V maka R = V

Contoh Soal

Dua buah vektor sebidang erturut-turut besarnya 8 satuan dan 6 satuan, bertitik tangkap sama dan mengapit sudut 30^o Tentukan besar dan arah resultan vektor tersebut tersebut!

Jawaban :

R = 82 + 62 + 2.6.8.cos 30
R = 64 + 36 + 96 0,5 √3
R = 100 + 48√3

Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

$\! \vec{A} \cdot \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \cdot (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})$

$= a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \!$

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

$\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$

$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$

$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$

dan

$\hat{i} \cdot \hat{j} = \hat{j} \cdot \hat{i} = 0$

$\hat{j} \cdot \hat{k} = \hat{k} \cdot \hat{j} = 0$

$\hat{k} \cdot \hat{i} = \hat{i} \cdot \hat{k} = 0$

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker $\!\delta_{mn}$ , yaitu

$\hat{m} \cdot \hat{n} = \delta_{mn}$

Perkalian silang

Hasil suatu perkalian silang dua buah vektor adalah juga sebuah vektor. Perkalian silang bersifat tidak komutatif.

$\vec{A} \times \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) \times (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})$

$= (a_y b_z - a_z b_y) \hat{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \hat{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \hat{k}$

Untuk vektor-vektor satuan terdapat pula hubungan yang mendasari operasi perkalian silang, yaitu

$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$

$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$

$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$

dan

$\hat{j} \times \hat{i} = - \hat{k}$

$\hat{k} \times \hat{j} = - \hat{i}$

$\hat{i} \times \hat{k} = - \hat{j}.$

Perkalian langsung

Hasil perkalian langsung dua buah vektor adalah sebuah tensor atau matriks. Perkalian ini tidak bersifat komutatif.

$\vec{A} \vec{B} = (a_x \hat{i} + a_y \hat{j} + a_z \hat{k}) (b_x \hat{i} + b_y \hat{j} + b_z \hat{k})$

$= \hat{i} (a_x b_x) \hat{i} + \hat{i} (a_x b_y) \hat{j} + \hat{i} (a_x b_z) \hat{k}$

$+ \hat{j} (a_y b_x) \hat{i} + \hat{j} (a_y b_y) \hat{j} + \hat{j} (a_y b_z) \hat{k}$

$+ \hat{k} (a_z b_x) \hat{i} + \hat{k} (a_z b_y) \hat{j} + \hat{k} (a_z b_z) \hat{k}$

Perkalian langsung dua buah vektor satuan tidak memiliki hubungan yang khusus.

$(\hat{a})(\hat{b}) = \hat{a} \hat{b}$

$\hat{a} \hat{b} \neq \hat{b} \hat{a}$

Besaran Skalar

Besaran-besaran dalam fisika yang sudah kita kenal seperti massa, panjang, waktu , dan yang lainnya dinyatakan dengan sutu angka yang biasanya diikuti dengan suatu satuan. Sebagai contoh, massa suatu benda sama dengan 4 kg. Besaran-besaran seperti itu tidaklah mempunyai arah, sehingga disebut dengan besaran skalar. Dikatakan tidak mempunyai arah, karena besaran-besaran tersebut bernilai sama ke senua arah/orientasi. Perhitungan pada besaran skalar meliputi operasi-operai matematik seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

1. Massa (m)
Besaran massa benda dapat diperoleh dari pembagian gaya yang bekerja terhadap percepatan benda tersebut

2. Panjang/jarak (s)
Besaran panjang/jarak lintasan yang ditempuh oleh suatu benda dapat diperoleh dari perkalian antara kelajuan dengan waktu tempuh

3. Luas (A)
Misalnya luas suatu persegi panjang dapat diperoleh dari perkalian antara panjang dengan lebarnya.

4. Volume (V)
Misalnya volume sebuah balok dapat diperoleh dari perkalian antara panjang (p), lebar (l), dan tingginya (t).

5. Waktu (t)
Besaran waktu tempuh dari suatu benda yang bergerak dapat diperoleh dari pembagian antara jarak (s) terhadap kelajuan (v).

Sumber:http://rumushitung.com/2013/06/14/besaran-vektor-fisika-sma/ ; http://elnicovengeance.wordpress.com/2011/08/14/perkalian-vektor/

Time Can't Turn Back

Minggu, 04 Agustus 2013

Vektor dan Skalar

Perkalian titik

Perkalian silang

Perkalian langsung

Tidak ada komentar:

Posting Komentar